貝兒正在學習貝氏機率，最近她想基於貝氏機率來設計一個分類演算法。

她的分類演算法是這樣設計的：假設要預測的目標為$C$，而每筆資料有$n$個特徵$f_1,f_2,...,f_n$。每個特徵的值$v_i$有$1\le v_i\le V(f_i)$，而目標的值$c$也有$1\le c\le V(C)$。

給定$m$筆資料，貝兒的分類器會從中學習出以下的機率：

- $P(c)=\frac{\text{count}(C=c)+1}{m+V(C)}:$ $C=c$的機率
- $P(f_i=k|c)=\frac{\text{count}(C=c\ \&\ f_i=k)+1}{\text{count}(C=c)+V(f_i)}:$ $C=c$時，$f_i=k$的機率

要預測新資料$X(f_1=v_1,f_2=v_2,...,f_n=v_n)$時，貝兒的分類器會分別計算每個類別的分數函數$S(c,X)=P(c)\prod P(f_i=v_i|c)$，並選擇分數最高的類別作為預測。  
如果有多個類別同時達到最高分$\max(S(c,X))=S(c_a,X)=S(c_b,X)=...$，則選擇最小的那個：$\text{answer}=\min(c_a,c_b,...)$。

考慮以下範例：
$V(f_1)=2,V(f_2)=3,V(C)=2$

| f1 | f2 | C |
|----|----|---|
| 1  | 1  | 1 |
| 2  | 1  | 1 |
| 1  | 2  | 2 |
| 2  | 2  | 1 |

從訓練資料中，貝兒的分類器會學習到以下機率：
- $P(C=1)=\frac{3+1}{4+2}=\frac{4}{6}$
- $P(C=2)=\frac{1+1}{4+2}=\frac{2}{6}$
- $P(f_1=1|C=1)=\frac{1+1}{3+2}=\frac{2}{5}$
- $P(f_1=2|C=1)=\frac{2+1}{3+2}=\frac{3}{5}$
- $P(f_2=1|C=1)=\frac{2+1}{3+3}=\frac{3}{6}$
- $P(f_2=2|C=1)=\frac{1+1}{3+3}=\frac{2}{6}$
- $P(f_2=3|C=1)=\frac{0+1}{3+3}=\frac{1}{6}$

給定一個要預測的資料$X(f_1=1,f_2=3)$，可以計算出每個$c$的分數函數：

- $S(1,X)=P(f_1=1|C=1)P(f_2=3|C=1)P(C=1)=\frac8{180}$
- $S(2,X)=P(f_1=1|C=2)P(f_2=3|C=2)P(C=2)=\frac4{72}$

$S(2,X)>S(1,X)$，所以貝兒的分類器會預測2。

你看了看貝兒的分類器覺得很有意思，決定自己實作一個。